Сегодня разберёмся с задачей, которая кажется простой, но на деле раскрывает важные принципы вероятности и делимости. Коля выбирает случайное трехзначное число — и нам нужно найти вероятность того, что оно делится на 5. Что же зачисляется в эту магическую вероятность? Как считать? И почему именно 0,2, а не что-то другое? Поехали!

1. Понимание задачи и диапазона чисел

Начнём с самого простого — что такое трехзначные числа? Это все числа от 100 до 999 включительно. Почему? Потому что:

• 100 — минимальное трехзначное число (первое с тремя цифрами).
• 999 — максимальное трехзначное число (последнее с тремя цифрами).

Сколько всего таких чисел? Легко посчитать:

[ 999 - 100 + 1 = 900 ]

Получается ровно 900 чисел. Это весь диапазон, из которого Коля выбирает случайное число. Значит, наше пространство всех исходов — 900 чисел.

Важно: в задаче рассматриваются все трехзначные числа, без исключений или ограничений. Это ключевой момент — вероятность считается относительно всего диапазона.

2. Правило делимости на 5 и его применение

Знаете, как определить, делится ли число на 5? Очень просто — достаточно взглянуть на его последнюю цифру:

• Если число заканчивается на 0 или 5, оно делится на 5.
• Иначе — нет.

Так что среди трехзначных чисел, делящихся на 5, последние цифры будут либо 0, либо 5.

А как часто встречаются такие числа в диапазоне от 100 до 999? Очень регулярно — каждое пятое число будет делиться на 5. Почему?

Потому что делимость на 5 — это арифметическая прогрессия с шагом 5. Если взять первое трехзначное число, делящееся на 5 — это 100 (5 × 20), то следующие будут 105, 110, 115 и так далее, с шагом 5.

Так что, чтобы посчитать количество таких чисел, достаточно посчитать, сколько шагов по 5 помещается в диапазоне.

3. Вычисление количества трехзначных чисел, делящихся на 5

Посчитаем:

• Первое число, делящееся на 5 в диапазоне: 100.
• Последнее число, делящееся на 5 в диапазоне: 995 (так как 999 не делится на 5, ближайшее меньшее, делящееся на 5 — 995).

Количество таких чисел:

[ \frac{995 - 100}{5} + 1 = \frac{895}{5} + 1 = 179 + 1 = 180 ]

Итого, 180 чисел из 900 делятся на 5.

4. Расчёт вероятности

Вероятность — это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. В нашем случае:

[ P = \frac{\text{количество чисел, делящихся на 5}}{\text{общее количество трехзначных чисел}} = \frac{180}{900} = 0{,}2 ]

То есть вероятность, что выбранное Коля трехзначное число делится на 5, равна 0,2 или 20%.

5. Почему метод "каждое пятое число" работает?

Вы, возможно, подумали: "А можно просто взять 1/5 от 900 и не считать?" Абсолютно верно! Делимость на 5 равномерно распределена среди чисел, поэтому каждые пять чисел ровно одно делится на 5.

Это связано с тем, что делимость на 5 — циклична по последней цифре, и вероятность равномерна при случайном выборе числа из диапазона.

6. Предположения и обобщения

Предположение о равномерном выборе

Мы считаем, что Коля выбирает число равновероятно из всех 900 трехзначных чисел. Если бы выбор был неравномерным (например, он любит числа на 7 или с определённой последней цифрой), вероятность изменилась бы.

Обобщение на другие делители

Если заменить 5 на другое число, например, 2, 3, 4, то принцип тот же:

• Найти количество трехзначных чисел, делящихся на это число.
• Разделить на 900.

Например, для делимости на 2 — каждое второе число делится на 2, значит вероятность примерно 0,5.

7. Альтернативные методы решения

• Перебор: Можно перебрать все числа от 100 до 999 и проверить делимость на 5.
• Арифметическая прогрессия: Как мы сделали — найти первое и последнее число, делящиеся на 5, и посчитать количество членов.
• Использование свойства последней цифры: Подсчитать, сколько чисел заканчивается на 0 или 5.

Итог

Теперь вы знаете, что вероятность выбора Коля трехзначного числа, делящегося на 5, — это ровно 20%. Просто, понятно и логично. А вы когда-нибудь задумывались, почему делимость на 5 так легко проверить? В следующий раз, выбирая число, загляните на его последнюю цифру — и вы уже эксперт!

А вы как думаете? Может, есть более хитрый способ вычислить вероятность? Или, может, Коля выбирает числа неравномерно? Поделитесь мыслями!