Если коротко: для пересечения границы с детьми с одним из родителей доверенность обычно не требуется, потому что в основе действует правило о выезде ребенка из России по российскому законодательству. Но доверенность может понадобиться в других сценариях (например, когда ребенок едет без обоих родителей, или когда есть запрет на вывоз ребенка со стороны второго родителя). Ниже разложу по полочкам именно про доверенность и про то, когда она реально нужна.

Сначала про главное: что значит «доверенность» в этой истории

Под “доверенностью” на практике обычно имеют в виду согласие (разрешение) на вывоз ребенка или документ на право управления/провоза авто, а иногда просто “бумагу, чтобы не спорить на границе”.

Сценарии с детьми: когда нужна доверенность, а когда нет

Ключевой ориентир для выезда из России - российское регулирование выезда несовершеннолетних. Смысл такой: с одним из родителей согласие на вывоз обычно не требуется, а вот когда ребенка сопровождает не один из родителей, тогда согласие второго родителя/родителей становится актуальным.

Ситуация (как едет ребенок) Нужна доверенность/согласие на вывоз? Пояснение простыми словами
Ребенок едет из России в Казахстан с одним из родителей Нет (в общем случае) Российские правила выезда не требуют согласия второго родителя именно при выезде с одним из родителей
Ребенок едет без родителей (с родственником/учителем/тренером и т.п.) Да Тут согласие (разрешение) от родителя(ей) нужно, чтобы доказать волю родителей на выезд
Ребенок едет с одним из родителей, но второй родитель заявил запрет на вывоз Да Тогда доверенность/согласие должен дать именно тот родитель, кто запретил (или нужно решать запрет законным способом)

Источник по логике для выезда ребенка из России: Федеральные нормы РФ про порядок выезда из РФ и въезда, а также типовые разъяснения по применению этого правила (в т.ч. в правовых консультациях и разборе практики) - например, ссылка на обсуждение обязательности согласия при выезде ребенка с одним из родителей:
https://nashaplaneta.net/vopros-otvet/369-obyazatelna-li-doverennost-na-detey-dlya-poezdki-v-kazahstan-s-odnim-iz-roditeley

Если речь не о детях, а о взрослом и поездке на машине

Тут важно не путать “доверенность на ребенка” и “доверенность на авто”.

Ситуация Может ли понадобиться доверенность Что обычно требуют на практике
За рулем не собственник автомобиля Иногда просят документ от собственника (право пользования/управления и право пересечения границы) ПТС/СТС, водительские документы, страховка на машину, а доверенность могут попросить как подтверждение прав пользования
Собственник автомобиля едет с вами Чаще всего нет необходимости в доверенности “для пересечения границы” Обычно достаточно, что авто оформлено на того, кто везет

По консультациям практикующих юристов по поводу пересечения границы на машине логика такая: собственник едет вместе - доверенность часто не нужна; собственник отсутствует - доверенность могут запросить. Пример:
https://pravo163.ru/nuzhna-li-doverennost-na-mashinu-dlya-peresecheniya-granicy-s-kazaxstanom-esli-vladelec-ostaetsya-v-rf/

Въезд в казахстан и базовые документы (это не про доверенность, но помогает не “споткнуться” на границе)

Для пересечения границы гражданам РФ в большинстве случаев достаточно паспорта (внутреннего или загранпаспорт) и стандартных процедур пограничного контроля. По данным справочных материалов для путешественников, для въезда обычно нужен паспорт, а детям до 14 лет, в связи с изменениями, может требоваться загранпаспорт (в зависимости от текущих правил). Пример обзора требований и сроков пребывания:
https://www.banki.ru/news/daytheme/?id=11021758

Практический алгоритм перед выездом

Чтобы на месте не оказалось, что вам не хватает именно “той” доверенности, действуйте так:

  • Определите, о ком вопрос: ребенок или взрослый.
  • Определите, кто сопровождает: один из родителей, оба, или третье лицо.
  • Если ребенок едет с одним родителем - проверьте, нет ли запрета на вывоз со стороны второго родителя.
  • Если вопрос про машину - посмотрите, кто собственник, и кто реально будет за рулем.

Частая путаница, из-за которой люди зря оформляют доверенность

  • Многие слышат “нужна доверенность” и оформляют ее “на всякий случай”. На практике это не всегда нужно, особенно когда сценарий подпадает под правило “ребенок едет с одним из родителей”.
  • Доверенность на авто и согласие на вывоз ребенка - это разные документы под разные цели.

Если все-таки оформлять

Если вы попадаете в ситуацию, когда документ нужен (например, ребенок едет не с родителем), оформляют согласие/разрешение, как правило, у нотариуса. Точные требования к форме зависят от того, какая именно ситуация и какой документ нужен под конкретную проверку на границе.

Источник с общим правовым контекстом доверенностей и их признания/использования в отношениях между странами можно смотреть, например, в правовых подборках консультантов:
https://www.consultant.ru/law/podborki/doverennost_vydannaya_v_kazahstane/

Итог по вашему вопросу (коротко)

  • Для поездки из России в казахстан доверенность в формате “согласие на вывоз ребенка” обычно не требуется, если ребенок едет с одним из родителей.
  • Доверенность/согласие нужна, если ребенок едет без родителей или если есть запрет на вывоз со стороны второго родителя.
  • Если вопрос про доверенность для машины, она может понадобиться, если вы не собственник и собственник не едет рядом.