Ситуация Как по закону Практический смысл
До 18 лет Родительские права и обязанности действуют Родитель обязан заботиться о здоровье, воспитании и обеспечивать получение среднего образования
После 18 лет Родительские права и обязанности прекращаются “Родительская” обязанность по общему правилу прекращается

Основание: Кодекс РК «О браке (супружестве) и семье» (в части прекращения родительских прав и обязанностей по достижении 18 лет).

Источник: Кодекс РК «О браке (супружестве) и семье» (см. нормы о родительских правах/обязанностях и прекращении родительских прав).
https://kodeksy-kz.com/ka/zakon_o_brake_i_seme/

Что обязан делать родитель (и почему это не зависит напрямую от “возраста самостоятельности”)

Даже когда ребёнок идёт домой один, едет на такси или общественном транспорте, базовая обязанность родителя никуда не исчезает до 18 лет. Родитель отвечает за условия, воспитание и заботу о ребёнке.

Обязанность Норма (по смыслу статей)
Заботиться о здоровье ребёнка Обязанность родителей заботиться о здоровье детей
Воспитывать ребёнка Право и обязанность воспитывать
Обеспечить получение среднего образования Родители обязаны обеспечить получение детьми среднего образования
Создавать условия для развития Родители несут основную ответственность за условия жизни для физического, психического, нравственного и духовного развития

Источник: Закон РК «О браке (супружестве) и семье», статья о правах и обязанностях родителей по воспитанию и образованию детей.
https://kodeksy-kz.com/ka/zakon_o_brake_i_seme/62.htm

Также отдельно закреплена обязанность родителей содержать несовершеннолетних детей (это тоже про ответственность, хотя и в другом блоке).
Источник:
https://kodeksy-kz.com/ka/zakon_o_brake_i_seme/124.htm

Как распределяется ответственность между школой и родителем

Ключевой момент - не “может ли ребёнок идти сам”, а кто отвечает за жизнь и здоровье в конкретный период:

Период Кто несёт ответственность за жизнь и здоровье
Во время учебно-воспитательного процесса (в школе) Организация образования (руководитель организации в пределах процесса)
После окончания занятий/за пределами учебного заведения Родитель

На практике поэтому школы часто пытаются “закрыть вопрос” заявлениями о том, что родители не возражают, что ребёнок уходит один, садится на такси и т.п. Но принципиально важно: такое заявление не отменяет обязанности родителя, закреплённой законом, и само по себе не превращает родителя в “единственного виноватого” или школу в “ни за что не отвечающую”.

Может ли школа требовать заявление “про ответственность родителя”

Школа может установить внутренний порядок (например, как организован уход детей после уроков). Но школа не может подменить законом основание ответственности “бумажкой”.

Смысл правовой позиции из разборов по похожим вопросам такой: пока ребёнок находится в школе, ответственность лежит на школе; за пределами учебного заведения - на родителях, а заявление не меняет базовые обязанности родителя по законодательству.

Источник (разбор правовой позиции по вопросу требований школы к родителю):
https://dogovor24.kz/questions/imeet-li-pravo-shkola-trebovat-ot-roditelya-pismo-gde-roditel-beret-na-sebya-obyazatelstvo-nesti-otvetstvennost-za-rebenka-8156.html

Итог в одном абзаце

Если коротко: в Казахстане родительская ответственность за ребёнок по закону действует до достижения 18 лет; с совершеннолетием она прекращается. При этом ответственность за жизнь и здоровье в конкретный момент распределяется так: в период учебно-воспитательного процесса - на государственный/образовательный процесс (школу), после окончания занятий и за пределами учебного заведения - на родитель. Любые внутренние требования школы в виде заявления обычно регулируют организационные моменты, но не отменяют и не “переписывают” по-новому то, что уже определено законом, в том числе без государственный договор.

Нормативная основа: Кодекс РК «О браке (супружестве) и семье» (статьи о правах/обязанностях родителей и прекращении родительских прав), включая нормы о воспитании и образовании и общую обязанность заботиться о ребёнок.
https://kodeksy-kz.com/ka/zakon_o_brake_i_seme/62.htm